Question

已知圆C：（x-a）²+（y-a-1）²=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
（2）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用圆心到直线的距离公式，结合直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，利用勾股定理，可求a的值；
（2）求出M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）由圆的方程知，圆C的圆心为C（a，a+1），半径为3…（1分）
设圆心C到直线l的距离为d，
∵l被圆C截得弦长为2，
∴d²+1=9，即d=2

2

，
∴

|a+(a+1)-3|

2

=2

2

，即|a-1|=2，
∴a=-1或a=3…（5分）
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，得

(x-3)2+y2

=2

x2+y2

即x²+y²+2x-3=0…（7分）
∴点M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上．
又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，
∴1≤|CD|≤5…（9分）
∴1≤

(a+1)2+(a+1)2

≤5，
解得-1-

5 2

2

≤a≤-1-

2

2

或-1+

2

2

≤a≤-1+

5 2

2

…（11分）
故a的取值范围是[-1-

5 2

2

，-1-

2

2

]∪[-1+

2

2

，-1+

5 2

2

]…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．