Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，直线与曲线交于不同的两点.

（1）求直线的参数方程和曲线的普通方程；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）直线的参数方程为，曲线的普通方程为；（2）

【解析】

（1）根据直线参数方程的知识求得直线的参数方程，将的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得的普通方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.

直线的参数方程为，

由两边平方得，所以曲线的直角坐标方程式,

曲线的方程为,即.

(2)直线的参数方程为，代入曲线的方程得：

设对应得参数分别为,则