题目内容
【题目】如图,正方形与梯形
所在的平面互相垂直,
,
,点
在线段
上.
(Ⅰ) 若点为
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ) 求证:平面平面
;
(Ⅲ) 当平面与平面
所成二面角的余弦值为
时,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量的结论可证得BM⊥平面ADEF的法向量,从而可证得线面平行;
(2)分别求得平面,平面
的法向量,由法向量的数量积为0可证得面面垂直;
(3)设,由题意可得点M的坐标,分别求得两个半平面的法向量,由二面角的余弦值得到关于
的方程,解方程求得
的值即可确定
的长.
(1)∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD为交线,
∴ED⊥平面ABCD,由已知得DA,DE,DC两两垂直,
如图建系D-xyz,可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,1).
由M为C的中点,知,故
.
易知平面ADEF的法向量为,
,
∵BM平面ADEF,∴BM//平面ADEF.
(2)由(1)知,
设平面BDE的法向量为,
平面BEC的法向量为,
由得
,
由得
,
,故平面BDE⊥平面BEC.
(3)设,设
,计算可得
,
则,
设平面BDM的法向量为,
由得
,
易知平面ABF的法向量为,
由已知得
,
解得,此时
,
,则
,即AM的长为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人,每人分别对两个教师进行评分,满分均为100分,整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:,
,
,
,
,
.得到甲教师的频率分布直方图,和乙教师的频数分布表:
乙教师分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
3 | |
3 | |
15 | |
19 | |
35 | |
25 |
(1)在抽样的100人中,求对甲教师的评分低于70分的人数;
(2)从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人,求2人评分均在
范围内的概率;
(3)如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准,则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师?(精确到0.1)
【题目】为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值,越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程,甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查,其中男生60人,且抽取的男生中对游泳有兴趣的占,而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.
(1)试完成下面的列联表,并判断能否有
的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生,其中3名对游泳有兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
(3)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖,如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量
的分布列及数学期望.
班级 | |||||||||||
市级比赛 获奖人数 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市级以上比赛获奖人数 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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