Question

18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA．
（I）求B的大小；
（Ⅱ）若b=2．求a+c的最值．

Answer 1

分析 （I）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由b与sinB的值，利用正弦定理求出2R的长，原式利用正弦定理化简，把表示出的C代入利用和差化积公式变形，利用余弦函数的值域即可确定出最值．

解答 解：（I）把a=2bsinA，利用正弦定理化简得：sinA=2sinAsinB，
∵sinA≠0，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B为锐角，
∴B=30°；
（Ⅱ）∵B=30°，
∴A+C=150°，即C=150°-A，
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}$=2R，即2R=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∵sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴a+c=2RsinA+2RsinC=4（sinA+sinC）=4[sinA+sin（150°-A）]=4×2sin75°cos（A-75°）=（2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$）cos（A-75°），
∵0＜A＜150°，即-75°＜A-75°＜75°，
∴0＜cos（A-75°）≤1，
∵a+c＞b=2，
∴a+c的最大值为2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$，最小值为2．

点评 此题考查了正弦定理，和差化积公式，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．