题目内容
已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点的点,求直线的方程及的长.
(1);(2)直线PQ的方程:x+y-6=0,|PQ|=.
解析试题分析:(1)设圆心C的坐标为(x,y),根据题意可以得到关于x,y的方程组,消去参数以后即可得到x,y所满足的关系式,即圆心C的轨迹M的方程;(2)设点P的坐标为,根据题意可以把l’用含x0的代数式表示出来,由经过点A(0,6)可以求得点P的坐标与l’的方程,再联立(1)中M的轨迹方程,即可求出Q的坐标,从而得到|PQ|d的长.
(1)设动圆圆心C的坐标为(x,y),动圆半径为R,则 ,且
|y+1|=R 2分,可得.
由于圆C1在直线l的上方,所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方,所以有y+1>0,从而得,整理得,即为动圆圆心C的轨迹M的方程. 5分
(2)如图示,设点P的坐标为,则切线的斜率为,可得直线PQ的斜率为,所以直线PQ的方程为.由于该直线经过点A(0,6),所以有,得.因为点P在第一象限,所以,点P坐标为(4,2),直线PQ的方程为x+y-6=0. 9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得,解得x=-12或4
12分
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