题目内容
【题目】已知向量 
，且 
，
（1）求 
的取值范围；
（2）求证 
；
（3）求函数 
的取值范围．
【答案】
（1）解：∵ 
=sinxcosx+sinxcosx=2sinxcosx=sin2x
∵x∈[0， 
]，
∴2x∈[0，π]
∴ ∈[0，1]
（2）解：证明：∵=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴| 
|= 
= 
∵x∈[0， ]，
∴x+ 
∈[ ， 
]，
∴sin（x+ ）＞0，
∴ 
=2sin（x+ ），
∴| 
+ 
|=2sin（x+ ）．
（3）解：∵x∈[0， ]，
∴x+ ∈[ ， ]
∴f（x）= 
= 
=2sinxcosx﹣2（sinx+cosx）
解法1：令t=sinx+cosx
∴ 
∴y=t2﹣1﹣2t
=（t﹣1）2﹣2
∴y∈ 
，
解法2：f（x）=sin2x﹣2 
= 
= 
﹣1
∵ 
≤1
∴f（x）∈[﹣2， 
]
【解析】（1）利用向量的坐标运算公式可求得 =sin2x，又x∈[0， ]，从而可求 的取值范围；（2）由 =（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念结合辅助角公式即可证得| |=2sin（x+ ）．（3）将 
化简为：f（x）═2sinxcosx﹣2（sinx+cosx），解法1：令t=sinx+cosx，sinxcosx= 
（1≤t≤ 
），y=t2﹣1﹣2t=（t﹣1）2﹣2取值范围可求． 解法2：f（x）=sin2x﹣2 sin（x+ ）= ﹣1，求得sin（x+ ）的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数在闭区间上的最值(当
时，当
时，
；当
时在
上递减，当时，
)．
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