Question

16．判断并证明f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 判断函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，用单调性定义证明即可．

解答 解：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
证明如下：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$）-（1-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$）
=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$；
当0＜x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，${{x}_{1}}^{2}$+1＞0，${{x}_{2}}^{2}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了用单调性的定义法证明函数的单调性问题，解题时应该严格按照证明步骤进行解答，是基础题．