Question

16．直线l是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右准线，以原点O为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据圆被分成的两段圆弧的弧长比为2：1，可以求出两个交点与圆心构成的圆心角为120°，根据对称性，在第一象限的交点A原点O所构成直线的倾斜角为60°，求得a和c的关系，进而求得离心率e．

解答 解：如图，易求圆O的方程为：x²+y²=c²，∠AOB=120°，
∴A的坐标$（\frac{a^2}{c}，\frac{{\sqrt{3}{a^2}}}{c}）$，
∴$\frac{a^4}{c^2}+\frac{{3{a^4}}}{c^2}={c^2}⇒e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对基础知识的熟练程度．