题目内容

【题目】如图所示,某镇有一块空地,其中.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.

(1)当时,求防护网的总长度;

(2)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?

【答案】(1) ;(2)当时,最小值为.

【解析】

(1)证明为正三角形,可得的周长为9,即防护网的总长度为9km;

(2),在中使用正弦定理求出得出的面积关于的函数,利用三角函数恒等变换化简,得出面积的最小值.

(1)中,

中,,由余弦定理,得

,即

为正三角形,所以的周长为9,即防护网的总长度为.

(2)设

,,

又在中,由,得

中,由,得

当且仅当,即时,的面积取最小值为.

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