Question

【题目】若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．

∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，

∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3

（2）解：由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．

∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，

∴﹣2是g（x）的极值点．

∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的极值点．

∴g（x）的极值点是﹣2．

（3）解：令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．

先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]

当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，

∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．

当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，

∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．

由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．

①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．

此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．

②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．

又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，

∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．

同理，在（一2，一1）内有唯一实根．

③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．

又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，

∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．

因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|xi|＜2，i=3，4，5．

现考虑函数y=h（x）的零点：

（i）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．

（ii）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|＜2，i=3，4，5．

而f（x）=ti有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．

综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．

【解析】（1）求出 导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值和函数的零点的相关知识点，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．