题目内容
已知抛物线y
2=2px(p>0),椭圆
+=1(a>b>0),双曲线
-=1(a>0,b>0),如图示,K为与焦点F对应的准线与x轴的交点,AB为过焦点的垂直于x轴的弦.
(1)在抛物线中,已知∠AKB为直角,则在椭圆和双曲线中∠AKB还为直角吗?试证明你的合情推理所得到的结论;
(2)在抛物线中,已知直线KA与抛物线只有一个公共点A,则在椭圆和双曲线中也有类似的性质吗?试选择椭圆证明你的类比推理.
分析:(1)在椭圆与双曲线中,分别求出点K,A的坐标,利用正切定义可得tan∠AKF的大小,进而判断出∠AKB的大小;
(2)在椭圆和双曲线中有相同的性质.由于在椭圆中同(1)可知直线KA的斜率是离心率e,
可得直线KA的方程与椭圆方程联立,可得△=0,即可得出直线KA与椭圆只有一个公共点A.
解答:解:(1)在椭圆中,
K(-,0),
A(-c,),
tan∠AKF===e<1,
∴∠AKF<45
0,
得∠AKB=2∠AKF为锐角;
同样,在双曲线中,
K(,0),
A(c,),
tan∠AKF===e>1,
∴∠AKF>45
0,
从而∠AKB=2∠AKF为钝角.
(2)在椭圆和双曲线中有相同的性质.
在椭圆中同(1)可知直线KA的斜率是离心率e,
直线KA的方程为
y=(x+),代入b
2x
2+a
2y
2=a
2b
2,得x
2+2cx+c
2=0,
△=0,x
1=x
2=-c,∴直线KA与椭圆只有一个公共点A.
点评:熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其判断方法等是解题的关键.
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