题目内容

 

已知椭圆C的焦点在y轴上,且离心率为.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点AB

    (1)求椭圆C的方程;

(2)设P为椭圆上一点,且满足O为坐标原点),当||<时,求实数λ的取值范围.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(1)由题知a2=mb2=1,∴ c2=m-1

,解得m=4.

∴ 椭圆的方程为.  …………………………………………………4分

(2)当l的斜率不存在时,,不符合条件. ………5分

l的斜率为k,则l的方程为y=kx+3.

A(x1y1),B(x2y2),P(x0y0),

联立l和椭圆的方程:  消去y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,

∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0,解得k2>5.

=

由已知有

整理得13k4-88k2-128<0,解得

∴ 5<k2<8.………………………………………………………………………9分

,即(x1y2)+(x2y2)= λ(x0y0),

x1+x2=λx0y1+y2=λy0

λ=0时,x1+x2=

显然,上述方程无解.

λ≠0时,=

P(x0y0)在椭圆上,

化简得

由 5<k2<8,可得3<2<4,

λ∈(-2,-)∪(,2).

λ的取值范围为(-2,)∪(,2).…………………………………12分

 

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