题目内容
已知椭圆C:的焦点在y轴上,且离心率为.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当||<时,求实数λ的取值范围.
【答案】
解:(1)由题知a2=m,b2=1,∴ c2=m-1
∴ ,解得m=4.
∴ 椭圆的方程为. …………………………………………………4分
(2)当l的斜率不存在时,,不符合条件. ………5分
设l的斜率为k,则l的方程为y=kx+3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
联立l和椭圆的方程: 消去y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,
∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0,解得k2>5.
且,
∴ =,
由已知有,
整理得13k4-88k2-128<0,解得 ,
∴ 5<k2<8.………………………………………………………………………9分
∵ ,即(x1,y2)+(x2,y2)= λ(x0,y0),
∴ x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
当λ=0时,x1+x2=,,
显然,上述方程无解.
当λ≠0时,=,.
∵ P(x0,y0)在椭圆上,
∴ ,
化简得.
由 5<k2<8,可得3<2<4,
∴ λ∈(-2,-)∪(,2).
即λ的取值范围为(-2,)∪(,2).…………………………………12分
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