题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的焦点在y轴上，且离心率为 $数学公式$ ．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 $数学公式$ （O为坐标原点），当 $数学公式$ 时，求实数λ的取值范围．

解：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴ $\text{[math]}$ ，解得m=4．
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）当l的斜率不存在时， $\text{[math]}$ ，不符合条件．（5分）
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程：
$\text{[math]}$ ，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由已知有 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得 $\text{[math]}$ ，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵ $\text{[math]}$ ，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀
当λ=0时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，显然，上述方程无解．
当λ≠0时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴ $\text{[math]}$ ，
化简得 $\text{[math]}$ ．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，2）．即λ的取值范围为（-2，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，2）．（12分）
分析：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且离心率为 $\text{[math]}$ ，得m=4．由此能求出椭圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时， $\text{[math]}$ ，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程： $\text{[math]}$ ，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用．