题目内容
已知椭圆C:的焦点在y轴上,且离心率为
.过点(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点M,求此时l的方程.
【答案】
解:(1)由题知a2=m,b2=1,∴ c2=m-1.
∴ ,解得m=4.
∴ 椭圆的方程为. …………………………………………………4分
(2)由(1)知M(1,0),且据题知=0.
当l的斜率不存在时,A(0,2),B(0,-2),
∴ =(-1,2),
=(-1,-2),
∴ =(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0,不符合条件.……………………6分
当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=kx+3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),于是=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2).
联立l和椭圆的方程:
消去y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,
∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0,解得k2>5.
且,
∴ y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=. …………………10分
∵ =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=+
+1+
=,
∴ =0,解得k=-3,或k=5(均满足条件).
∴ l的方程为y=-3x+3,或y=5x+3.………………………………………12分

练习册系列答案
相关题目