题目内容

 

已知椭圆C的焦点在y轴上,且离心率为.过点(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点AB

    (1)求椭圆C的方程;

(2)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点M,求此时l的方程.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(1)由题知a2=mb2=1,∴ c2=m-1.

,解得m=4.

∴ 椭圆的方程为.  …………………………………………………4分

(2)由(1)知M(1,0),且据题知=0.

l的斜率不存在时,A(0,2),B(0,-2),

=(-1,2),=(-1,-2),

=(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0,不符合条件.……………………6分

l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=kx+3.

A(x1y1),B(x2y2),于是=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).

联立l和椭圆的方程:  消去y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,

∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0,解得k2>5.

y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=. …………………10分

=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2

                 =++1+

                 =

=0,解得k=-3,或k=5(均满足条件).

∴  l的方程为y=-3x+3,或y=5x+3.………………………………………12分

 

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