题目内容

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根,且x1∈(0,1),x2∈(1,2).则
b-2
a-1
的取值范围是______.
解;∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根,
∴设函数f(x)=x2+ax+2b,
∵x1∈(0,1),x2∈(1,2).
f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
,即
2b>0
a+2b+1<0
2a+2b+4>0

作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=
b-2
a-1
,则z的几何意义是区域内的点P(a,b)到定点A(1,2)两点之间斜率的取值范围,
由图象可知当P位于点B(-3,1)时,直线AB的斜率最小,此时kAB=
1-2
-3-1
=
1
4

可知当P位于点D(-1,0)时,直线AD的斜率最大,此时kAD=
0-2
-1-1
=1

1
4
<z<1

b-2
a-1
的取值范围是(
1
4
,1)

故答案为:(
1
4
,1)
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