题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
（1）若点
分别是线段
的中点，求证：平面
平面
；
（2）若二面角
为直二面角，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据等腰三角形三线合一和已知的角度和边长关系可证得
，从而可知
；在利用三角形中位线可证得
；根据线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得结论；（2）设
交
于点
，利用面面垂直的性质定理可证得
平面
，从而可建立起空间直角坐标系；利用线面角的向量求法可求得结果.
（1）
为等边三角形，且
是线段
的中点 
，
平面
，
平面 
平面
点
分别是线段
的中点 
平面，
平面 
平面
平面
平面
（2）设交于点，连接
由对称性知，为的中点，且
，
二面角
为直二面角 
平面
不妨设
，则
，
，
/p>
以为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
则
，即：
令
，得
，
直线与平面所成角的正弦值为
【题目】某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为
元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这
万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取
名，每名用户赠送元的红包，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中
表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；
（1）根据上面的数据求出关于的回归直线方程；
（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为
．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为
元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于
万元，能否把保费定为5元？
x | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
y | 0.79 | 0.59 | 0.38 | 0.23 | 0.01 |
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，
参考数据：表中的5个值从左到右分别记为
，相应的值分别记为
，经计算有
，其中
，
．
