题目内容
【题目】已知数列{an}的各项都大于1,且a1=2,a ﹣an+1﹣a +1=0(n∈N*).
(1)求证: ≤an<an+1≤n+2;
(2)求证: + + +…+ <1.
【答案】
(1)证明:∵an>1,
由 ,
得 ,即an+1>an,
∵ ,
∴an+1=(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1≤n+2,
,
∴
(2)证明:由 ,
∴
,
∴ ,
即 ,
,
∴ <1
【解析】(1)由an>1,结合 ,可得an+1>an;作差放缩可得an+1﹣an<1,利用迭代法证得an+1≤n+2;最后再由作差放缩得到 ,进一步得到 ;(2)由 ,得 ,可得 ,然后利用裂项相消法证得答案.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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