题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若函数为偶函数,求实数
的值;
(2)存在实数,使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
(3)若方程在
上有且仅有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)根据函数的奇偶性的定义,可求得实数
的值;
(2)由,得
,由于
,对a进行参数分离得
,运用函数的单调性和不等式的存在性,可求得实数
的取值范围;
(3)分①当时,②当
,③当
时,分别讨论方程的根的情况,可求得实数
的取值范围.
(1)因为函数为偶函数,即函数
为偶函数,所以
,
所以或
,解得
,
所以实数的值为1;
(2),即
,则
,∵
,
∴,
令,则
的定义域为
,
设,则
,
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
因为是定义域为
的奇函数,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
∵,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,而
,
,
∴,得到
;
(3)①当时,
在
上单调递增,此时方程
没有根;
②当,
,即
时,因为
有两个正根,
所以,得
,
③当时,设方程
的两个根为
,则有
,结合图形可知
在
上必有两个不同的实根.
综上,实数的取值范围为
.
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