Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

．
（1）求证：函数f（x）有两个零点；
（2）设x₁，x₂是函数的两个零点，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

，可得 c=-

3a

2

-b，计算判别式△大于零，从而得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数的两个零点，则 x1+x2 = -

b

a

，x1•x2 = 

c

a

，化简|x₁-x₂|等于

( b a +2)2+2

，从而求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答：解：（1）证明：由函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

，可得 a+b+c=-

a

2

，即 c=-

3a

2

-b．
故判别式△=b²-4ac=b2-4a(-

3a

2

-b)=（b+2a）²+2a²＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数的两个零点，则 x1+x2 = -

b

a

，x1•x2 = 

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

( x1+x2 )2-4 x1•x2

=

(- b a )2-4• c a

=

b2-4ac a2

=

b2+4ab+ 6a2 a2

=

( b a )2+4• b a +6

=

( b a +2)2+2

≥

2

．
故|x₁-x₂|的取值范围为[

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的最值，属于基础题．