Question

（2012•汕头一模）半径为R的圆周上任取A、B、C三点，则三角形ABC为锐角三角形的概率为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  5

• C．

  1

  6

• D．

  3

  8

Answer 1

分析：法一：三个点在圆上构成三角形，不外乎就三种：钝角三角形，直角三角形和锐角三角形．成钝角三角形和成锐角三角形的概率相同，构成两种三角形的概率和等于成直角三角形的概率．
法二：按逆时针方向依次重新标记三点为A，B，C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，根据题意建立关于x，y的约束条件，利用线性质规划的方法求解．

解答：解：法一：任意三个点，连接其中两点，
（1）如果两点的连线在直径上，则与第三点构成的三角形是直角三角形，因为直径平分圆，所以概率为

1

2

；
（2）如果两点的连线不在直径上，则与第三点构成的三角形，要么是锐角三角形，要么是钝角三角形，所以成钝角三角形和成锐角三角形的概率相同，各是

1

4

，
法二：如图①，按逆时针方向依次重新标记三点为A，B，C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，
显然：

0＜x＜2π 0＜y＜2π 0＜2π-x-y＜2π

，三点组成锐角三角形，则

0＜x＜π 0＜y＜π 0＜2π-x-y＜π

，

作出图形，如图所示．
所求概率等于图②中红色部分（直线x=π，y=π，x+y=π围成三角形）面积除以所有涂色（红色和绿色）部分（x轴，y轴与直线x+y=2π围成三角形）面积，
为

π×π× 1 2

2π×2π× 1 2

=

1

4

．
故选A．

点评：本题考查几何概型的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．