题目内容
己知函数f(x)=
，a∈R
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）当正整数n＞8时，比较（
）
与（
）
的大小．
| 1-a+lnx |
| x |
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）当正整数n＞8时，比较（
| n |
| n+1 |
| n+1 |
| n |
分析：（Ⅰ）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可求解
（Ⅱ）对lnx-kx＜0分离k，变形移向得出
＜k在（0，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=
，只需g（x）max＜k．转化为求g（x）的最大值．
（Ⅲ）设a=（
）
，b=（
）
，分别取对数，并且
=
=
，根据前两问研究的g（x）=
的单调性，判断出
＞
＞0，进而得出a＞b．
（Ⅱ）对lnx-kx＜0分离k，变形移向得出
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
（Ⅲ）设a=（
| n |
| n+1 |
| n+1 |
| n |
| lna |
| lnb |
| ||||
|
| ||||||
|
| lnx |
| x |
ln
| ||
|
ln
| ||
|
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=
，令f′（x）=0得x=ea，
当x∈（0，ea）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（ea，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
可知f（x）有极大值为f（ea）=e-a．
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需
＜k在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=
，只需g（x）max＜k．
g（x）=
，是题干中a=1时情形，由（Ⅰ）知，g（x）有最大值为f（e）=
．
所以k＞
．
（Ⅲ）设a=（
）
，b=（
）
，则lna=
ln
，lnb=
ln
，
=
=
，考察函数g（x）=
，由（Ⅰ）可知，g（x）在（e，+∞）为减函数，
当正整数n＞8时，
，
∈（e，+∞），所以g（
）＞g（
），即
＞
＞0，
即有
＞1，lna＞lnb．等价于a＞b，即（
）
＞（
）
．
| a-lnx |
| x2 |
当x∈（0，ea）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（ea，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
可知f（x）有极大值为f（ea）=e-a．
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需
| lnx |
| x |
令g（x）=
| lnx |
| x |
g（x）=
| lnx |
| x |
| 1 |
| e |
所以k＞
| 1 |
| e |
（Ⅲ）设a=（
| n |
| n+1 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
| n |
| n |
| n+1 |
| lna |
| lnb |
| ||||
|
| ||||||
|
| lnx |
| x |
当正整数n＞8时，
| n |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
ln
| ||
|
ln
| ||
|
即有
| lna |
| lnb |
| n |
| n+1 |
| n+1 |
| n |
点评：本题是函数性质的综合应用，考查函数的单调性，最值的应用，涉及到分离参数的解题方法．能够将问题转化，联系到函数的性质，是达到较高水平的体现．
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