Question

己知函数f(x)=

x2

1+x2

，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)=（　　）

• A．2005

  1

  2

• B．2006

  1

  2

• C．2007

  1

  2

• D．2008

  1

  2

Answer 1

分析：题目中给出了函数解析式，当然可以逐项求解，再相加．审题后，应当注意到所给的自变量的取值有特点：倒数关系，由此应先考虑f（x）+f（

1

x

）的结果的特殊性，以期减少重复的运算．

解答：解：∵f(x)=

x2

1+x2

，∴f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2009）+f（

1

2009

）]
=

1

2

+1+1+…+1
=2008

1

2

故选：D．

点评：本题考查函数值求解，函数性质．意识到先考虑f（x）+f（

1

x

）的结果的特殊性，是本题的关键，精彩之处．也是良好数学素养的体现．