Question

已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．

Answer 1

解：（1）由三视图可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P﹣ABCD的体积为． 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴，
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE． 证明如下：
连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，
∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D﹣AE﹣B的平面角．
在Rt△ADE中，，
又，在△DFB中，
由余弦定理得，
∴∠DGB=120°，
即二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．