题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
分析：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=
AD，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量
，
，
，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．
| 3 |
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量
| AB |
| PB |
| BC |
解答：
（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=
AD，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A（1，0，0），B（0，
，0），C（-1，
，0），P（0，0，1）．
=（-1，
，0），
=（0，
，-1），
=（-1，0，0），
设平面PAB的法向量为
=（x，y，z），则
即
，
因此可取
=（
，1，
）
设平面PBC的法向量为
=（x，y，z），则
，
即：
可取
=（0，1，
），cos＜
，
＞=
=-
=-
，
故二面角A-PB-C的余弦值为：-
．
（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=| 3 |
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A（1，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| PB |
| 3 |
| BC |
设平面PAB的法向量为
| n |
|
即
|
因此可取
| n |
| 3 |
| 3 |
设平面PBC的法向量为
| m |
|
即：
|
可取
| m |
| 3 |
| m |
| n |
| ||||
|
|
| 4 | ||
2
|
2
| ||
| 7 |
故二面角A-PB-C的余弦值为：-
2
| ||
| 7 |
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．
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