Question

20．在△ABC中，AC=7，∠B=$\frac{2π}{3}$，△ABC的面积S=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，则边AB的长为3或5．

Answer 1

分析 由，∠B=$\frac{2π}{3}$，以及已知三角形的面积，利用三角形的面积公式求出AB•BC=15，再利用余弦定理即可求出AB²+BC²=34，联立解出AB即可．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，∠B=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{1}{2}$AB•BC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴AB•BC=15，①
由余弦定理知cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AB•BC}$，即-$\frac{1}{2}$=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-49}{30}$，
∴AB²+BC²=34． ②
联立①②，解得：AB=3或AB=5．
故答案为：3或5．

点评 本题考查三角形中边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．