Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0；
（I）证明：数列{a_n}是等比数列．
（II）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）求数列{b_n}的通项公式；
（III）记λ=1，记，求数列{C_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

解：（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴（n≥2），
∵λ≠-1，0，∴数列{a_n}是等比数列．
（II）由（I）知，，
∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴，即，
∴是首项为，公差为1的等差数列；
∴，
则，
（III）λ=1时，，且a₁=1，∴，
∴，
∴，①
②
②-①得：，
∴，
∴．
分析：（I）根据题意和a_n=s_n-s_n-1（n≥2）进行变形，再由等比数列的定义判断得出；
（II）由（I）和题中所给的式子求出b_n后，再进一步变形，判断出是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；
（III）由前两小题的结果求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．
点评：本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，主要利用关系式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和构造法进行变形，还涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．