题目内容
（本题13分）已知函数f (x) = ln(ex + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g (x) =
f (x) + sinx是区间[1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g (x)≤t2 +
t + 1在x∈[1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程
的根的个数．
解析:（1）由于f (x) 是R上的奇函数，f (0) = 0，故a = 0．……………………3分
（2）∵g (x)在[1，1]上单调递减，∴
时
恒成立
，
∴只要
∴(t + 1)
+ t2 + sin1 + 1≥0(其中≤1)恒成立．……………………5分
令
则
∴t≤1．………………………………………………………………………………8分
（3）由（1）知
．∴方程为
令f1(x) =
，f2(x) = x2 2ex + m，
∵
当x∈(0，e)时，
，∴
在(0，e]上为增函数；
当x∈(e，+∞)时，
，∴在（e，+∞)上为减函数；
当x = e时
．
而
∴当
时，即
时方程无解．
当
时，即
时方程有一解．
当
时，即
时方程有二解．………………………………………13分
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.
时，求
的单调区间；
单调增加，在
单调减少，证明：
＜6.
。
，试判断并证明
的单调性；
上单调，且存在
使
成立，求
的取值范围；
时，求函数
。
)+cos(
)，k∈Z，x∈R．
,α∈(0,
)，求tan(2α+
)的值．
，
，