题目内容
【题目】若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.设函数,,a,b,kR.
(1)若为在x=1处的切线.①当有两个极值点,,且满足·=1时,求b的值及a的取值范围;②当函数与的图象只有一个交点,求a的值;
(2)若对满足“函数与的图象总有三个交点P,Q,R”的任意突数k,都有PQ=QR成立,求a,b,k满足的条件.
【答案】(1)①,或. ②. (2)与.
【解析】
(1) ①根据极值点定义以及韦达定理求得,根据判别式大于零解得a的取值范围;②根据导数几何意义得 ,解方程 或,再根据题意解得结果,(2)先化简方程 有两个不等实根,,再根据题意得实数根满足,或,或,最后分类讨论,解得a,b,k满足的条件.
解:(1)①由,因函数有两个极值点,
所以两个不等的实数根,
所以,即,又span>,所以,或.
②因为函数在处的切线,
所以,
联立方程组,即,
所以,
整理得,解得或,
因与只有一个交点,所以,解得.
(2)联立方程组,由②得,
即,方程有一根
因与有三个交点,
所以有两个不等实根,
因与有三个交点且满足,
所以实数根满足,或,或,
因为满足与有三个交点的任意实数,
令,则,解得,,
当时,得,,
此时,令,则,
解得,,不满足与,不符题意;
同理也不符题意;
当时,由,得,
此时总满足,
为此只需有两个不等的实根即可,
所以,化简得,
综上所述,应满足条件与.
【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回归直线方程=bx+a;(其中,,,,);
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【题目】某面包店随机收集了面包种类的有关数据,经分类整理得到下表:
面包类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
面包个数 | 90 | 60 | 30 | 80 | 100 | 40 |
好评率 | 0.6 | 0.45 | 0.7 | 0.35 | 0.6 | 0.5 |
好评率是指:一类面包中获得好评的个数与该类面包的个数的比值.
(1)从面包店收集的面包中随机选取1个,求这个面包是获得好评的第五类面包的概率;
(2)从面包店收集的面包中随机选取1个,估计这个面包没有获得好评的概率;
(3)面包店为增加利润,拟改变生产策略,这将导致不同类型面包的好评率发生变化.假设表格中只有两类面包的好评率数据发生变化,那么哪类面包的好评率增加0.1,哪类面包的好评率减少0.1,使得获得好评的面包总数与样本中的面包总数的比值达到最大?(只需写出结论)