题目内容
【题目】已知函数(其中
是自然对数的底数).
(1)证明:①当时,
;
②当时,
.
(2)是否存在最大的整数,使得函数
在其定义域上是增函数?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)①直接作差,构建新函数研究最值即可;②同样作差构建函数,研究最值即可;
(2)由题意可得,变量分离研究最值即可.
①令,
当时,
,故
在区间
上为减函数,
当时,
,故
在区间
上为增函数,
因此,故
.
②令,
,因此
为增函数
当时,
,故
.
(2)据题意,函数的定义域为
,又
,
,
因此对一切有
.
令,
则,
,
故为增函数,
又,
,
因此在区间
上有唯一的零点,记它为
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
故,因此
,其中
由(1)可知恒成立,且当
时,
成立
故
当且仅当时等号成立.
因此.
又
因此,即存在最大的整数28,使得
在其定义域上是增函数.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
汽车型号 | I | II | III | IV | V |
回访客户(人数) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
满意率 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
满意率是指:某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值.
(Ⅰ) 从III型号汽车的回访客户中随机选取1人,则这个客户不满意的概率为________;
(Ⅱ) 从所有的客户中随机选取1个人,估计这个客户满意的概率;
(Ⅲ) 汽车公司拟改变投资策略,这将导致不同型号汽车的满意率发生变化.假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化,那么哪种型号汽车的满意率增加0.1,哪种型号汽车的满意率减少0.1,使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大?(只需写出结论)
【题目】对某种书籍每册的成本费(元)与印刷册数
(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
其中,
.
为了预测印刷千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:
,
.
(1)根据散点图,你认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中的模型选择,求关于
的回归方程,并预测印刷
千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.