题目内容

已知两个向量集合M={
a
|
a
=（cosα，
7-cos2α
2
），α∈R}，N={
b
|
b
=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，则λ的取值范围是（　　）
分析：M∩N≠Φ，即是说方程组
cosα=cosβ 
7-cos2α
2
=λ+sinβ  
有解，两式消去α得出3+sin2β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin2β-sinβ-3=（sinβ-
1
2
）2+
11
4
．根据sinβ的有界性求出λ的取值范围．
解答：解：M∩N≠Φ，即是说方程组
cosα=cosβ  ①
7-cos2α
2
=λ+sinβ   ②
有解．
而
7-cos2α
2
=
7-(1-2sin2α)
2
=3+sin2α，②即为3+sin2α=λ+sinβ③
由①得sin2α=sin2β，代入③消去α得3+sin2β=λ+sinβ，移向得出λ=sin2β-sinβ-3=（sinβ-
1
2
）2+
11
4
．
∵sinβ∈[-1，1]，∴当sinβ=
1
2
时，λ的最小值为
11
4
，当sinβ=-1时，λ的最大值为5．
点评：本题考查方程思想、函数思想、分离参数的思想方法．考查分析、解决、逻辑思维、计算能力．
练习册系列答案
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已知两个向量集合M={
a
|
a
=(
1
2
-t，
1
2
+t)，t∈R}，N={
b
|
b
=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，若M∩N是只有一个元素的集合，则λ的值为
 
．
已知两个向量集合M={
a
|
a
=(
1
2
-t，
1
2
+t)，t∈R}，N={
b
|
b
=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，若M∩N是只有一个元素的集合，则λ的值为______．
已知两个向量集合M={|=（cosα，），α∈R}，N={|=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，则λ的取值范围是（ ）
A．（-3，5]
B．[，5]
C．[2，5]
D．[5，+∞）
已知两个向量集合M={|=（cosα，），α∈R}，N={|=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，则λ的取值范围是（ ）
A．（-3，5]
B．[，5]
C．[2，5]
D．[5，+∞）

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