题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若为
的两个极值点,证明:
.
【答案】(1)当时,
在
为增函数,
减函数,
为增函数;当
时,
在
为增函数.(2)证明见解析.
【解析】
(1)求函数导数,分类讨论函数
的正负,可得函数的单调性;
(2)由(1)知,且
,不等式作差得
,即证
对
成立,进而构造函数求最值证明即可.
(1)的定义域为
,
,
对于函数,
①当时,即
时,
在
恒成立.
在
恒成立,
在
为增函数;
②当,即
或
时,
当时,由
,得
或
,
,
在
为增函数,
减函数,
为增函数,
当时,由
在
恒成立,
在
为增函数.
综上,当时,
在
为增函数,
减函数,
为增函数;
当时,
在
为增函数.
(2)由(1)知,且
,
故
故只需证明,
令,故
,
原不等式等价于对
成立,
令,所以
单调递减,有
得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校为调查高三年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(如图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(如图(2)).已知图(1)中身高在170~175cm的男生有16名.
(1)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少名?
身高≥170cm | 身高<170cm | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)根据频率分布直方图,完成下面的2×2列联表,并判断能有多大(百分数)的把握认为身高与性别有关?
附:参考公式和临界值表
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水x(单位:千克)清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药y(单位:微克)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
y(微克)
x(千克)
| ||||||
3 | 38 | 11 | 10 | 374 | -121 | -751 |
其中
(I)根据散点图判断,与
,哪一个适宜作为蔬菜农药残量
与用水量
的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)若用解析式与用水量
的回归方程,求出
与
的回归方程.(c,d精确到0.1)
(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到0.1,参考数据)
附:参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: