题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且
MF
=λ
FN
(λ＞0)，定点A（-4，0）．
（1）若λ=1时，有
AM
•
AN
=
106
3
，求椭圆C的方程；
（2）在条件（1）所确定的椭圆C下，当动直线MN斜率为k，且设s=1+3k2时，试求
AM
•
AN
tan∠MAN关于S的函数表达式f（s）的最大值，以及此时M，N两点所在的直线方程．
分析：（1）欲求椭圆C的方程，先根据条件λ=1且
MF
=λ
FN
(λ＞0)求出M点的坐标，再根据条件
AM
•
AN
=
106
3
求出c的值．
最后根据离心率为
6
3
分别求出a与b的值．
（2）欲求
AM
•
AN
tan∠MAN关于S的函数表达式f（s）的最大值，先联系直线方程与椭圆的方程求
AM
•
AN
tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|的表达式，根据函数最值的相关知识求出最大值，最后求得直线MN的方程．
解答：解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0），
则
MF
=(c-x1，-y1)，
FN
=(x2-c，y2)，
又λ=1，有
MF
=
FN
．
故
c-x1=x2-c
-y1=y2
?
x1+x2=2c
y
2
1
=
y
2
2
，
又
x
2
1
=a2(1-
y
2
1
b2
)，
x
2
2
=a2(1-
y
2
2
b2
)，
所以x12=x22，结合x1+x2=2c≠0，可知x1=x2=c．
所以M(c，
b2
a
)，N(c，-
b2
a
)，
从而
AM
•
AN
=(c+4)2-
b4
a2
=
106
3
，将
c
a
=
6
3
代入得c=2．
故椭圆C的方程为
x2
6
+
y2
2
=1．
（2）
AM
•
AN
tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|．
设直线MN的直线方程为y=k（x-2）（k≠0），联立
x2
6
+
y2
2
=1
y=k(x-2)
，得（1+3k2）y2+4ky-2k2=0，
所以|y1-y2|=
24k4+24k2
1+3k2
，
记t=
24k4+24k2
1+3k2
，S=1+3k2，
则t=
24
(
S-1
3
)2+
S-1
3
S
=
2
6
3
1+
1
S
-
2
S2
，
所以t≤
3
，当S=4即k=±1时取等号．
所以，
AM
•
AN
tan∠MAN有最大值，最大值为6
3
，此时直线MN的方程为x±y-2=0．
点评：本题考查平面向量的相关知识以及直线与圆锥曲线的知识．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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