题目内容

(本小题满分13分)

        某飞船返回仓顺利返回地球后,为了及时救出航天员,地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A,B,C),B地在A地正东方向上,两地相距6km; C地在B地北偏东方向上,两地相距4km,假设P为航天员着陆点,某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号,经过4s后,B、C两个救援中心也同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s。

   (I)求A、C两上救援中心的距离;

   (II)求P相对A的方向角;

   (III)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2,返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时,A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小),并证明你的结论。

解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则

      

         即A、C两个救援中心的距离为.………3分

(2),所以P在BC线段的垂直平分线上.

,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,且

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得:

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°方向上. ………9分

(3)如图,设

又∵

即从P点的正上方Q点处A、B收到信号的时间差比从P点处A、B收到信号的时间差变小. ………13分

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