Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是1，过A点作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A₁BD的中心；
②AH垂直于平面CB₁D₁；
③AC₁与B₁C所成的角是90°．
其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意判断A-A₁BD是一个正三棱锥，说明H是三角形A₁BD的中心，判断①的正误；推出AH⊥平面CB₁D₁，判断②的正误；说明AC₁与B₁C垂直，判断③的正误．
解答：解：由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，所以A-A₁BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A₁BD上的射影H是三角形A₁BD的中心，故①正确；
又因为平面CB₁D₁与平面A₁BD平行，所以AH⊥平面CB₁D₁，故②正确；
从而可得AC₁⊥平面CB₁D₁，即AC₁与B₁C垂直，所成的角等于90°，③正确．
故答案为：①②③
点评：本题是基础题，考查正方体的有关直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．