Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，PC与底面ABCD所成的角的正切值为

2

2

，E为PD的中点．
（1）求二面角E-AC-D的大小．
（2）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为

2 5

5

．若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：解法一（几何法）（1）由已知可得BC⊥AB，又BC⊥PB由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，则BC⊥PA．同理CD⊥PA，再中线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD．∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，设M为AD中点，连接EM，又E为PD中点，可得EM∥PA，从而EM⊥底面ABCD．过 M作AC的垂线MN，垂足为N，连接EN．则∠ENM为二面角E-AC-D的平面角，解Rt△EMN可得二面角E-AC-D的大小．
（2）若点E到平面PAF的距离为

2 5

5

，则点D到平面PAF的距离为

4 5

5

．过 D作AF的垂线DG，垂足为G，可得DG为点D到平面PAF的距离设BF=x，由△ABF∽△DGA求出x的值，进而得到结论．
解法二（向量法）（1）建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面AEC的一个法向量，和平面ACD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角E-AC-D的大小．
（2）设F（2，t，0）（0≤t≤2），求出平面PAF的一个法向量，代入点E到平面PAF的距离d=

| AE • n |

| n |

，构造方程求出t值，可得结论．

解答：解法一：（1）∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，AB∩PB=B
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理可证CD⊥PA，由BC∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴PA=2                …（2分）
设M为AD中点，连接EM，又E为PD中点，可得EM∥PA，
从而EM⊥底面ABCD．过 M作AC的垂线MN，垂足为N，连接EN．
由三垂线定理有EN⊥AC，∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角．…（4分）
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=

2

2

∴tan∠ENM=

EM

MN

=

2

．
∴二面角E-AC-D的大小为arctan

2

．                          …（6分）
（2）由E为PD中点可知，要使得点E到平面PAF的距离为

2 5

5

，即要点D到平面PAF的距离为

4 5

5

．
过 D作AF的垂线DG，垂足为G，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAF⊥平面ABCD，∴DG⊥平面PAF，
即DG为点D到平面PAF的距离．…9分
∴DG=

4 5

5

，∴AG=

2 5

5

． 设BF=x，由△ABF∽△DGA可得AB：BF=DG：GA，∴2：x=2：1，即x=1．∴在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为

2 5

5

．                                              …（12分）
解法二：（1）∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．同理可证CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴PA=2  …（2分）
建立如图的空间直角坐标系A-xyz，A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），E（0，1，1）
设

m

=（x，y，z）为平面AEC的一个法向量，则

m

⊥

AE

，

m

⊥

AC

．
又

AE

=（0，1，1），

AC

=（2，2，0），
∴

y+z=0 2x+2y=0

  令x=1则

m

=（1，-1，1）…（4分）
又

AP

=（0，0，2）是平面ACD的一个法向量，
设二面角E-AC-D的大小为 θ，
则cosθ=cos＜

m

，

AP

＞=

m • AP

| m |•| AP |

=

3

3

．
∴二面角E-AC-D的大小为arccos

3

3

．（6分）
（2）解：设F（2，t，0）（0≤t≤2），

n

=（a，b，c）为平面PAF的一个法向量，
则

n

⊥

AP

，

n

⊥

AF

．又

AP

=（0，0，2），

AF

=（2，t，0）
∴

2c=0 2a+tb=0

 令a=t则b=-2，c=0得

n

=（t，-2，0）．             …（9分）
又

AE

=（0，1，1），∴点E到平面PAF的距离d=

| AE • n |

| n |

=

2

t2+4

，
∴

2

t2+4

=

2 5

5

，解得t=1，即F（2，1，0），∴在线段BC上存在点F，使得点E到平面PAF的距离为

2 5

5

，且F为BC中点                           …（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中解法一的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，解法二的关键是建立适当的空间坐标系，将空间线面关系转化为向量夹角问题．