题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点A（0，-1）．
（I）求椭圆的方程；
（II）若过点（0，
）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）．
（i）求证：以MN为直径的圆恒过A点；
（ii）当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（I）求椭圆的方程；
（II）若过点（0，
| 3 |
| 5 |
（i）求证：以MN为直径的圆恒过A点；
（ii）当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．
分析：（I）由于椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点A（0，-1），可得
解得即可．
（II）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可设过点（0，
）的直线的方程为y=kx+
，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，又A（0，-1），只要证明
•
=0即可．
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．且P(
，
)．分类讨论：若k=0，则满足AP⊥MN，即可得出直线MN的方程为y=
．若k≠0，由kAP=-
=-
，解得k=±
．即可得出．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
|
（II）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可设过点（0，
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| AM |
| AN |
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．且P(
| -12k |
| 5(1+4k2) |
| 3 |
| 5(1+4k2) |
| 3 |
| 5 |
| 20k2+8 |
| 12k |
| 1 |
| k |
| ||
| 5 |
解答：解：（I）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点A（0，-1），
∴
解得b2=1，a=2，c=
．
∴椭圆C的方程为
+y2=1；
（II）（i）由题意可设过点（0，
）的直线的方程为y=kx+
，
联立
，化为(1+4k2)x2+
x-
=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-
．
又A（0，-1），∴
•
=（x1，y1+1）•（x2，y2+1）=x1x2+（y1+1）（y2+1）=x1x2+(kx1+
)(kx2+
)
=(1+k2)x1x2+
(x1+x2)+
=
-
+
=
=0．
∴点A在以线段MN为直径的圆上，即以MN为直径的圆恒过A点．
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．
且P(
，
)．
若k=0，则满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=
，满足题意．
若k≠0，由kAP=-
=-
，解得k=±
．此时直线MN的方程为y=±
x+
．
综上可知：当△AMN为等腰直角三角形时，直线MN的方程为：y=
，或y=±
x+
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴
|
| 3 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（II）（i）由题意可设过点（0，
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
联立
|
| 24k |
| 5 |
| 64 |
| 25 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
| 24k |
| 5(1+4k2) |
| 64 |
| 25(1+4k2) |
又A（0，-1），∴
| AM |
| AN |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
=(1+k2)x1x2+
| 8k |
| 5 |
| 64 |
| 25 |
=
| -64(1+k2) |
| 25(1+4k2) |
| 192k2 |
| 25(1+4k2) |
| 64 |
| 25 |
| -64-256k2+64+256k2 |
| 25(1+4k2) |
∴点A在以线段MN为直径的圆上，即以MN为直径的圆恒过A点．
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．
且P(
| -12k |
| 5(1+4k2) |
| 3 |
| 5(1+4k2) |
若k=0，则满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=
| 3 |
| 5 |
若k≠0，由kAP=-
| 20k2+8 |
| 12k |
| 1 |
| k |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
综上可知：当△AMN为等腰直角三角形时，直线MN的方程为：y=
| 3 |
| 5 |
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在圆上的证明方法、等腰直角三角形的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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