题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1).
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点(0,
)的直线与椭圆交于M,N两点(M,N点与A点不重合).
(i)求证:以MN为直径的圆恒过A点;
(ii)当△AMN为等腰直角三角形时,求直线MN的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点(0,
3 |
5 |
(i)求证:以MN为直径的圆恒过A点;
(ii)当△AMN为等腰直角三角形时,求直线MN的方程.
分析:(I)由于椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1),可得
解得即可.
(II)(i)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可设过点(0,
)的直线的方程为y=kx+
,与椭圆方程联立可得根与系数的关系,又A(0,-1),只要证明
•
=0即可.
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.且P(
,
).分类讨论:若k=0,则满足AP⊥MN,即可得出直线MN的方程为y=
.若k≠0,由kAP=-
=-
,解得k=±
.即可得出.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
|
(II)(i)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可设过点(0,
3 |
5 |
3 |
5 |
AM |
AN |
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.且P(
-12k |
5(1+4k2) |
3 |
5(1+4k2) |
3 |
5 |
20k2+8 |
12k |
1 |
k |
| ||
5 |
解答:解:(I)∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1),
∴
解得b2=1,a=2,c=
.
∴椭圆C的方程为
+y2=1;
(II)(i)由题意可设过点(0,
)的直线的方程为y=kx+
,
联立
,化为(1+4k2)x2+
x-
=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
,x1x2=-
.
又A(0,-1),∴
•
=(x1,y1+1)•(x2,y2+1)=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+(kx1+
)(kx2+
)
=(1+k2)x1x2+
(x1+x2)+
=
-
+
=
=0.
∴点A在以线段MN为直径的圆上,即以MN为直径的圆恒过A点.
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.
且P(
,
).
若k=0,则满足AP⊥MN,此时直线MN的方程为y=
,满足题意.
若k≠0,由kAP=-
=-
,解得k=±
.此时直线MN的方程为y=±
x+
.
综上可知:当△AMN为等腰直角三角形时,直线MN的方程为:y=
,或y=±
x+
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
∴
|
3 |
∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
(II)(i)由题意可设过点(0,
3 |
5 |
3 |
5 |
联立
|
24k |
5 |
64 |
25 |
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
24k |
5(1+4k2) |
64 |
25(1+4k2) |
又A(0,-1),∴
AM |
AN |
8 |
5 |
8 |
5 |
=(1+k2)x1x2+
8k |
5 |
64 |
25 |
=
-64(1+k2) |
25(1+4k2) |
192k2 |
25(1+4k2) |
64 |
25 |
-64-256k2+64+256k2 |
25(1+4k2) |
∴点A在以线段MN为直径的圆上,即以MN为直径的圆恒过A点.
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.
且P(
-12k |
5(1+4k2) |
3 |
5(1+4k2) |
若k=0,则满足AP⊥MN,此时直线MN的方程为y=
3 |
5 |
若k≠0,由kAP=-
20k2+8 |
12k |
1 |
k |
| ||
5 |
| ||
5 |
3 |
5 |
综上可知:当△AMN为等腰直角三角形时,直线MN的方程为:y=
3 |
5 |
| ||
5 |
3 |
5 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在圆上的证明方法、等腰直角三角形的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

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