题目内容
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1).
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点(0,
)的直线与椭圆交于M,N两点(M,N点与A点不重合).
(i)求证:以MN为直径的圆恒过A点;
(ii)当△AMN为等腰直角三角形时,求直线MN的方程.
分析:(I)由于椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1),可得
解得即可.
(II)(i)设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),由题意可设过点(0,
)的直线的方程为y=kx+
,与椭圆方程联立可得根与系数的关系,又A(0,-1),只要证明
•=0即可.
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.且P
(,).分类讨论:若k=0,则满足AP⊥MN,即可得出直线MN的方程为y=
.若k≠0,由
kAP=-=-,解得
k=±.即可得出.
解答:解:(I)∵椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点A(0,-1),
∴
解得b
2=1,a=2,
c=.
∴椭圆C的方程为
+y2=1;
(II)(i)由题意可设过点(0,
)的直线的方程为y=kx+
,
联立
,化为
(1+4k2)x2+x-=0,
设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),则
x1+x2=-,
x1x2=-.
又A(0,-1),∴
•=(x
1,y
1+1)•(x
2,y
2+1)=x
1x
2+(y
1+1)(y
2+1)=
x1x2+(kx1+)(kx2+)=
(1+k2)x1x2+(x1+x2)+=
-+=
-64-256k2+64+256k2 |
25(1+4k2) |
=0.
∴点A在以线段MN为直径的圆上,即以MN为直径的圆恒过A点.
(ii)由(i)可知:△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形.设斜边MN的中点为P,当△AMN为等腰直角三角形时,则AP⊥MN.
且P
(,).
若k=0,则满足AP⊥MN,此时直线MN的方程为y=
,满足题意.
若k≠0,由
kAP=-=-,解得
k=±.此时直线MN的方程为
y=±x+.
综上可知:当△AMN为等腰直角三角形时,直线MN的方程为:
y=,或
y=±x+.
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在圆上的证明方法、等腰直角三角形的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
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