Question

16．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）的最小正周期为2      
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；            
④f（2）=f（0）．
其中正确的判断是①②④（把你认为正确的判断都填上）

Answer 1

分析 由题意求出函数的周期，判断①；
利用周期和奇偶性可得f（x+2）=f（x）=f（-x），求出对称轴方程判断②，
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；
由f（x）的一个周期为2可得f（2）=f（0）．

解答 解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）关于y轴对称，
则f（-x）=f（x），
又f（x+1）=-f（x）
f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
∴2为f（x）的一个周期，命题①正确；
f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，命题②正确；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，命题③错；
∵2为f（x）的一个周期，∴f（2）=f（0），命题④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．