题目内容

6.若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为(  )
A.$\frac{4\sqrt{15}}{15}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$\sqrt{15}$D.$\sqrt{3}$

分析 依题意,抛物线y2=2bx 的焦点F(b,0),由 ( b+c):(c-b)=5:3可求得b,c关系,结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率.

解答 解:∵抛物线y2=4bx的焦点F(b,0),线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5:3的两段,
∴(b+c):(c-b)=5:3,∴c=4b,
∴c2=a2+b2=a2+$\frac{{c}^{2}}{16}$,
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{16}{15}$.
∴此双曲线的离心率e=$\frac{4\sqrt{15}}{15}$.
故选:A.

点评 本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质,求得c=4b是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

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