题目内容
已知数列
中,
。
若
是函数
的一个极值点。
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
,求证:对于任意正整数
,
都有
;
(3)若
,证明:![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047137774.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122046997376.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047013576.gif)
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047028268.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047044979.gif)
(1)求数列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122046997376.gif)
(2)若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047075692.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047091192.gif)
都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047106763.gif)
(3)若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047122684.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047137774.gif)
(1)
(2)(3)证明见答案
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047184539.gif)
(1)
,
所以
。
整理得:
。
当
时,
是常数列,得
;
当
时,
是以
为首项,
为公比的等比数列,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047527730.gif)
由上式得
,
即
,所以
。
又,当
时上式仍然成立,故
。
(2)
。因为
,
所以
,即
。从而
,
,于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479173015.gif)
(3)
且
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479641744.gif)
因为
,
所以
,从而原命题得证。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047215810.gif)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047231886.gif)
整理得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047247549.gif)
当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047262222.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047293432.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047387257.gif)
当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047403227.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047293432.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047434444.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047449185.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047527730.gif)
由上式得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220475431367.gif)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047559700.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047574494.gif)
又,当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047262222.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047184539.gif)
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047637891.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047652328.gif)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220476681136.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047793565.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047808566.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047839592.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479173015.gif)
(3)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047933489.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122047949279.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479641744.gif)
因为
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479802278.gif)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231220479951655.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目