题目内容
7．已知数列{an}，{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n-1）•2n+1+2（n∈N*）．（Ⅰ）若{bn}是首项为1，公比为2等比数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{an}中，a1=1，对任意p，q∈N*，ap+aq=ap+q，记数列{an+bn}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn＞$\frac{n^2}{2}$+100的自然数n的最小值．
分析 （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）对任意p，q∈N*，ap+aq=ap+q，则an+a1=an+1，即an+1-an=a1=1，利用等差数列的通项公式可得an，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（Ⅰ）∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n-1）•2n+1+2，
则n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=（n-2）•2n+2，
两式相减，得anbn=n•2n（n≥2），
当n=1时，a1b1=2，满足上式，
∴anbn=n•2n（n∈N*），
又∵{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，则bn=2n-1，
∴an=2n．
（Ⅱ）∵对任意p，q∈N*，ap+aq=ap+q，则an+a1=an+1，即an+1-an=a1=1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n，
由（Ⅰ）得bn=2n，
Tn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$，
不等式${T_n}＞\frac{n^2}{2}+100$，即${2^{n+1}}+\frac{n}{2}＞102$，
∴满足条件的自然数n的最小值为6．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | （$\sqrt{3}$，+∞） | B． | （2，+∞） | C． | （$\sqrt{3}$，2） | D． | （1，2） |