题目内容

已知向量a=(2cosx,1),b=(cosx,
3
sin2x-1)
,设函数f(x)=a•b,其中x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移
π
6
个单位得到g(x)的图象,求g(x)的解析式.
分析:(1)先根据向量的数量积,然后利用两角和与差的正弦函数公式得到f(x),然后找出正弦函数的单调增区间,解出x的范围即可得到f(x)的单调增区间;(2)横坐标扩大到原来的两倍,得2sin(x+
π
6
)
,向右平移
π
6
个单位,得2sin[(x-
π
6
)+
π
6
]
,从而可求g(x)的解析式.
解答:解:(1)∵f(x)=(2cos2x+
3
sin2x-1)=2sin(2x+
π
6
)
,(3分)
函数f(x)的最小正周期T=
2
(1分)
增区间:[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z                                 (2分)
(2)横坐标扩大到原来的两倍,得2sin(x+
π
6
)
,(2分)
向右平移
π
6
个单位,得2sin[(x-
π
6
)+
π
6
]

所以:g(x)=2sinx.(2分)
点评:考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式进行化简求值,会进行平面向量的数量积运算,会求复合函数的单调区间.考查学生熟悉正弦函数的图象与性质.
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