Question

1．已知集合A={x|x=m+n•$\sqrt{2}$，m，n∈Z}，设x₁，x₂∈A，求证：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 设x₁=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z，x₂=c+d$\sqrt{2}$，c，d∈Z，计算可得x₁•x₂满足集合A中元素的性质，进而得到答案．

解答 证明：∵集合A={x|x=m+n•$\sqrt{2}$，m，n∈Z}，
x₁，x₂∈A，
设x₁=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z，
x₂=c+d$\sqrt{2}$，c，d∈Z，
x₁x₂=（m+n$\sqrt{2}$）（c+d$\sqrt{2}$）=mc+2nd+（md+cn）$\sqrt{2}$，
∵（mc+2nd），（md+cn）∈Z，
∴x₁x₂∈A

点评 本题考查了元素与集合之间的关系，正确理解和化简是解决问题的关键．