Question

17．已知f（x）=x+sinx，若x∈[1，2]时，f（x²-ax）+f（1-x）≤0，则a的取值范围是（　　）

• A． a≤1
• B． a≥1
• C． a≥$\frac{3}{2}$
• D． a≤$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的单调性，推出函数的奇偶性，即可转化不等式为二次不等式恒成立，即可求出a的范围．

解答 解：因为f（x）=sinx+x，x∈R，
而f（-x）=sin（-x）+（-x）=-sinx-x=-f（x），
所以函数的奇函数；
又f′（x）=cosx+1≥0，所以函数是增函数，
若x∈[1，2]时，f（x²-ax）+f（1-x）≤0，
f（x²-ax）≤-f（1-x）=f（x-1），
所以x²-ax≤x-1在x∈[1，2]恒成立，
即有1-a-1+1≤0且4-2a-2+1≤0，
即有a≥1且a≥$\frac{3}{2}$，
则a≥$\frac{3}{2}$．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性的判断与应用，考查不等式恒成立问题的解决方法，属于中档题．