题目内容
【题目】设函数.
(1)若函数是奇函数,求实数
的值;
(2)若对任意的实数,函数
(
为实常数)的图象与函数
的图象总相切于一个定点.
① 求与
的值;
② 对上的任意实数
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)0;(2)①;②
.
【解析】试题分析:
(1)由奇函数的 定义得到关于实数a的方程,解方程可得a=0;
(2)由导函数研究函数的 切线可得切点为,切线的方程为
,则
.
(3)由题意分类讨论 和
两种情况可得实数
的取值范围是
.
试题解析:
解:(1)因为函数是奇函数,所以
恒成立,
即,得
恒成立,
.
(2)①,设切点为
,
则切线的斜率为,
据题意是与
无关的常数,故
,切点为
, 由点斜式得切线的方程为
,即
,故
.
② 当时,对任意的
,都有
;
当时,对任意的
,都有
;
故对
恒成立,或
对
恒成立.
而,设函数
.
则对
恒成立,或
对
恒成立,
,
当
时,
,
,
恒成立,所以
在
上递增,
,
故在
上恒成立,符合题意.
当
时,令
,得
,令
,得
,
故在
上递减,所以
,
而设函数
,
则,
恒成立,
在
上递增,
恒成立,
在
上递增,
恒成立,
即,而
,不合题意.
综上,知实数
的取值范围
.
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