题目内容
设函数f（x）满足f（ex）=x2-2ax+a2-1（a∈R），
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求a的取值范围．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求a的取值范围．
分析：（1）使用换元法令ex=t，则x=lnt代入即可求出；
（2）若函数f（x）满足
，则f（x）在区间（1，e）上只有一个零点；
若函数f（x）在区间[1，e]上单调，且满足若有f（1）=0或若有f（e）=0，亦可．此解出即可．
（2）若函数f（x）满足
|
若函数f（x）在区间[1，e]上单调，且满足若有f（1）=0或若有f（e）=0，亦可．此解出即可．
解答：解：（1）令ex=t，则x=lnt，∴f（t）=ln2t-2alnt+a2-1，
把t换成x得f（x）=ln2x-2alnx+a2-1（a∈R，x＞0）．
（2）∵f（x）=（lnx-a）2-1，由x∈[1，e]，得lnx∈[0，1]，
∴当a≥1，或a≤0时，f（x）在[1，e]上具有单调性．
∵f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，
∴
解得-1≤a≤0，或1≤a≤2．
故a的取值范围是[-1，0]∪[1，2]．
把t换成x得f（x）=ln2x-2alnx+a2-1（a∈R，x＞0）．
（2）∵f（x）=（lnx-a）2-1，由x∈[1，e]，得lnx∈[0，1]，
∴当a≥1，或a≤0时，f（x）在[1，e]上具有单调性．
∵f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，
∴
|
故a的取值范围是[-1，0]∪[1，2]．
点评：本题考查了闭区间上的函数的零点，掌握函数开区间上恰有一个零点的充分条件是解决此问题的关键．
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a=f(0)，b=f(
)，c=f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、a＜b＜c |
| B、c＜a＜b |
| C、c＜b＜a |
| D、b＜c＜a |
设函数f（x）满足f(n+1)=
（n∈N*），且f（1）=2，则f（20）为（ ）
| 2f(n)+n |
| 2 |
| A、95 | B、97 |
| C、105 | D、192 |
