题目内容
设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求证:(1)f(0)=0;
(2)f(3)=3f(1);
(3)f(
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分析:(1)令x=y=0,即可得到关于f(0)的方程,解方程即可求出;
(2)先令x=1,y=1,代入恒等式求f(2),再令x=2,y=1求f(3);
(3)x=y=
,由恒等式整理既得所要的结论.
(2)先令x=1,y=1,代入恒等式求f(2),再令x=2,y=1求f(3);
(3)x=y=
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解答:解:(1)∵对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)∴当x=y=0时,有f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0
(2)同(1),∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)
(3)同(1),取x=y=
,有f(1)=f(
)+f(
)∴f(
)=
f(1)
(2)同(1),∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)
(3)同(1),取x=y=
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点评:本题考查抽象函数及其应用,求解的关键是理解恒等式的意义以及灵活赋值的方式,利用恒等式求值或式,根据要求的或要证的进行选择性赋值很关键.
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0(其中f'(x)为f(x)的导数).设a=f(0),b=f(
),c=f(3),则a、b、c三者的大小关系是( )
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A、a<b<c |
B、c<a<b |
C、c<b<a |
D、b<c<a |
设函数f(x)满足f(n+1)=
(n∈N*),且f(1)=2,则f(20)为( )
2f(n)+n |
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A、95 | B、97 |
C、105 | D、192 |