Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA 且PA平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD= AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD= ，即PA⊥PD
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC
【解析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD= AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．