题目内容
【题目】(本题满分12分)已知椭圆,直线
不过原点
且不平行于坐标轴,
与
有两个交点
,
,线段
的中点为
.
(Ⅰ)证明:直线的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点
,延长线段
与
交于点
,四边形
能否为平行四边形?若能,求此时
的斜率,若不能,说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或
.
【解析】
试题分析:(1)设直线
,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线
的斜率,再表示
;
(2)第一步由 (Ⅰ)得的方程为
.设点
的横坐标为
,直线
与椭圆方程联立求点
的坐标,第二步再整理点
的坐标,如果能构成平行四边形,只需
,如果有
值,并且满足
,
的条件就说明存在,否则不存在.
试题解析:解:(1)设直线
,
,
,
.
∴由得
,
∴,
.
∴直线的斜率
,即
.
即直线的斜率与
的斜率的乘积为定值
.
(2)四边形能为平行四边形.
∵直线过点
,∴
不过原点且与
有两个交点的充要条件是
,
由 (Ⅰ)得的方程为
.设点
的横坐标为
.
∴由得
,即
将点的坐标代入直线
的方程得
,因此
.
四边形为平行四边形当且仅当线段
与线段
互相平分,即
∴
.解得
,
.
∵,
,
,
∴当的斜率为
或
时,四边形
为平行四边形.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:
连锁店 | A店 | B店 | C店 | |||
售价x(元) | 80 | 86 | 82 | 88 | 84 | 90 |
销量y(元) | 88 | 78 | 85 | 75 | 82 | 66 |
(1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如A店对应的散点为,求出售价与销量的回归直线方程
;
(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)
附:,
.
【题目】某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:
连锁店 | A店 | B店 | C店 | |||
售价x(元) | 80 | 86 | 82 | 88 | 84 | 90 |
销量y(元) | 88 | 78 | 85 | 75 | 82 | 66 |
(1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如A店对应的散点为,求出售价与销量的回归直线方程
;
(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)
附:,
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【题目】一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
数学(x分) | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 |
物理(y分) | 87 | 89 | 89 | 92 | 93 |
(1)要从5名学生中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率;
(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据线性回归方程.