Question

【题目】设k＞0，函数f（x）=+x+kln|x﹣1|．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个极值点，且0＜θ＜π时，证明：（2k﹣1）sinθ+（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞0．

Answer 1

【答案】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），
①当x＞1时，f（x）=+x+kln（x﹣1），
由于k＞0，则f′（x）=x+1+=＞0恒成立，、
故f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当x＜1时，f（x）=+x+kln（1﹣x），
由于k＞0，则f′（x）=x+1+═，
若k≥1，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
若0＜k＜1，令f′（x）＞0，即﹣＜x＜，
令f′（x）＜0，即＜x＜1，或x＜﹣，
综上所述：当0＜k＜1，f（x）在（﹣，）上单调递增，在（，1），（﹣∞，﹣）上单调递减，
当k≥1时f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2），由（1）知，当0＜k＜1，f（x）有一个极大值点和一个极小值点﹣，
当k≥1时，f（x）没有极值点，
∴函数f（x）有两个极值点时，0＜k＜1，
原不等式等价于（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣2k）sinθ，
∵0＜θ＜π，
∴sinθ＞0，
∴（1﹣k）2sinθ=（1﹣2k+k2）sinθ＞（1﹣2k）sinθ，
∴只要证（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣k）2sinθ，
只要证＞，
∵（1﹣k）θ，θ∈（0，π），
构造函数g（x）=（0＜x＜π），
则只要证g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
而g′（x）=，
设h（x）=xcosx﹣sinx，（0＜x＜π），
则h′（x）=﹣xsinx＜0，
∴h（x）在（0，π）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）=＜0，
∴g（x）在在（0，π）上是减函数，
∵（1﹣k）θ＜θ，
∴g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
故原不等式成立．
【解析】（1），先求导，通过分类讨，根据导数与函数单调性的关系即可得出单调区间；
（2）原不等式等价于＞ ， 分别构造函数，利用函数导数和函数的单调性以及最值得关系，即可证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．