题目内容

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=3x，f2（x）=2x2，f3（x）=x3，f4（x）=sin2x，f5（x）=cos
12
x，f6（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是偶函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．求抽取次数ξ的分布列、数学期望和方差．
分析：（1）可知六个函数中3个奇函数，3个偶函数，由题意可得P（A）=
C
2
3
C
2
6
，计算即可；（2）ξ可取1，2，3，4，分别可得其概率，可得ξ的分布列为，进而可得Eξ，Dξ．
解答：解：（1）可知六个函数中3个奇函数，3个偶函数，
记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到函数时偶函数”，
由题意可得P（A）=
C
2
3
C
2
6
=
1
5
；
（2）ξ可取1，2，3，4，P（ξ=1）=
C
1
3
C
1
6
=
1
2
，
P（ξ=2）=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
3
C
1
5
=
3
10
，P（ξ=3）=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
2
C
1
5
•
C
1
3
C
1
4
=
3
20
，
P（ξ=4）=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
2
C
1
5
•
C
1
1
C
1
4
•
C
1
3
C
1
3
=
1
20
，
故ξ的分布列为：
 ξ  1  2 3  4 
 P  
1
2
  
3
10
3
20
 
1
20
 
Eξ=1×
1
2
+2×
3
10
+3×
3
20
+4×
1
20
=
7
4
，
Dξ=（1-
7
4
）2×
1
2
+(2-
7
4
)2×
3
10
+(3-
7
4
)2×
3
20
+(4-
7
4
)2×
1
20
=
63
80
，
故ξ的数学期望为
7
4
，方差为
63
80
点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望和方差，涉及古典概型的概率公式，属中档题．
练习册系列答案
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一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1(x)=x3，f2(x)=5|x|，f3（x）=2，f4(x)=
2x-1
2x+1
，f5(x)=sin(
π
2
+x)，f6（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R函数：f1（x）=x
，f2
(x)=x2
，f3
(x)=lg(
x2+1
+x)
，f4
(x)=x•|x
.
，f5
(x)=cosx
，f6
(x)=2(ex)0，
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取3次停止的概率．
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1(x)=x3，f2(x)=5|x|，f3（x）=2，f4(x)=ln(sinx+
sin2x+1
)，f5(x)=
2x-1
2x+1
，f6（x）=xcosx．从中任意拿取2张卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率是
 
．

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